Probabilidad
Introducción
La probabilidad es una medida de la certidumbre de que ocurra un evento. Su valor es un número entre 0 y 1, donde un evento imposible corresponde a cero y uno seguro corresponde a uno.
Una forma empírica de estimar la probabilidad consiste en obtener la frecuencia con la que sucede un determinado acontecimiento mediante la repetición de experimentos aleatorios, bajo condiciones suficientemente estables. En algunos experimentos de los que se conocen todos los resultados posibles, las probabilidades de estos sucesos pueden ser calculadas de manera teórica, especialmente cuando todos los resultados son igualmente probables.
La teoría de la probabilidad es la rama de la matemática que estudia los experimentos o fenómenos aleatorios. Se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la economía (ciencia económica), las finanzas, la ciencia de datos, la Investigación médica, en mediano grado en algunas de las demás ciencias sociales y en menor grado en la filosofía para conocer la viabilidad de sucesos y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
La palabra probabilidad deriva del latín probabilitas, que también puede significar “probidad”, una medida de la autoridad de un testigo en un caso legal en Europa, y a menudo correlacionada con la nobleza del testigo. En cierto sentido, esto difiere mucho del significado moderno de probabilidad, que en cambio es una medida del peso de la evidencia empírica, y se llega a ella a partir del razonamiento inductivo y la inferencia estadística.
Teoría
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento “no ocurra” equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q
\[ P(Q) = 1 - P(E) \] Los tres métodos para calcular la probabilidad son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
Regla de adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
por un lado si \(A \cap B = 0\) es decir que son mutuamente excluyentes entonces,\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)
Por otro lado, si \(A \cap B \neq 0\) es decir que no son mutuamente excluyentes, entonces \(P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
Siendo: \(P(A)=\) probabilidad de ocurrencia de un evento A, \(P(B)=\) probabilidad de ocurrencia de un evento B, y \(P(A\cap B)=\) probabilidad de una ocurrencia simultanea de los eventos A y B.
Otra forma de verlo sería expresar la probabilidad de sucesos mutuamente no excluyentes mediante el sumatorio d elas probabilidades de un evneto determinado en función de otros eventos:
\[P(x)= \sum_{y} P(x,y)= \sum_{y} P(y)P(x \mid y)ORDENAR:\]
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabildades individuales.
\(P(A \cap B)= P(A)P(B)\),si A y B son independientes.
\(P(A \cap B)=P(A)P(B \mid A)\), si A y B son dependientes.
siendo \(P(B \mid A)\) la probabilidad de que ocurra B habiendose dado o verificado el evento A.
Un lote contiene “100” objetos de los cuales “20” son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si son defectuosos. Suponiendo que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (esto es, que el objeto que se selecciona al azar se deja fuera del lote), ¿cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?
Solución:
Sea los eventos
\(A_{1}=\) primer objeto defectuoso, \(A_{2}=\) segundo objeto defectuoso
entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento \(A_{1} \cap A_{2}\) que es la interaccion entre los eventos \(A_{1}\) y \(A_{2}\). De la información dada se tiene que:
\[P(A_{1})= \frac{20}{100};P(A_{2} \mid A_{1})= \frac{19}{99}\] así que la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es
\[P(A_{1} \cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2} \mid A_{1}) = \frac{20}{100}\cdot\frac{19}{99}=\frac{19}{495}\approx 0.007\] Ahora, suponiendo que se selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es
\[P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{20}{100} \cdot \frac{19}{99} \cdot \frac{18}{98} = \frac{19}{2695} \approx 0.007\]
Regla de Laplace
La Regla de Laplace establece que:
La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0
La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir \(P(A)=1\)
Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.
- La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
\[P(A)= \frac{ \text {N° de casos favorables} }{ \text {N° de resultados posibles} }\] Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos donde sucede A) sobre el total de casos posibles.
Teorema de Bayes
Sea \({[A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n]}\) un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero \((P[A_i] \neq 0 \text { para i} = 1, 2, ..., n)\). Si \(B\) es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $ P(BA_i)$ entonces la probabilidad de \(P(A_i \mid B)\) viene dada por la expresión:
\[ P(A_i\mid B)= \frac{P(B \mid A_i)P(A_i)}{P(B)} \]
donde:
- \(P(A_i)\) son las probabilidades a priori
- \(P(B\mid A_i)\) son las probabilidades \(B\) en la hipotesis \(A_i\)
- \(P(A_i\mid B)\) son las probabilidades a posteriori
Fórmula de Bayes
Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:
\[P(A_i\mid B)= \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_{k = 1}^{n}P(B\mid A_k)P(A_k)}...1\]
Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional \(P(A_i\mid B)\) de cualquiera d elos evnetos \(A_i\) dado \(B\). La formula \([1]\) ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias
Definiciones
Fenómeno Aleatorio
Un fenómeno aleatorio es un proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque los posibles resultados sean conocidos de antemano. La característica principal es la variabilidad: en las mismas condiciones, el fenómeno puede dar lugar a diferentes resultados. El estudio de los fenómenos aleatorios es el objetivo principal de la estadística y la teoría de la probabilidad.
Caracteristicas de un Fenómeno Aleatorio
- Imprevisibilidad: No se puede saber el resultado exacto en una realización particular del experimento.
- Variabilidad: En múltiples realizaciones bajo idénticas condiciones, el fenómeno puede presentar resultados distintos.
- Regulares a largo plazo: A pesar de la variabilidad, la repetición de un fenómeno aleatorio muchas veces muestra una tendencia regular, lo que permite predecir frecuencias de resultados, según la ley del azar.
- Conocimiento de resultados posibles: Se saben cuáles son todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.
Ejemplos de fenómeno aleatorio:
- Lanzar un dado
- Extraer una carta de una baraja
- Lanzar una moneda
Espacio Muestral
El espacio muestral (representado por la letra griega \(\Omega\) o la letra S) es el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio o incierto. Es un concepto fundamental en la probabilidad y la estadística, ya que permite organizar y comprender todos los desenlaces posibles para así poder calcular la probabilidad de eventos específicos dentro de ese experimento.
Ejemplos
- Lanzar una moneda
- Lanzar un dado de seis caras
- Lanzar dos monedas al aire
Evento
En estadística, un evento es cualquier resultado o conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio, siendo un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar una moneda, los eventos pueden ser “obtener cara” o “obtener cruz”. Estos eventos pueden contener un único resultado (evento simple) o varios resultados (evento compuesto), como en el lanzamiento de un dado, donde el evento “obtener un número par” incluye los resultados 2, 4 y 6.
Componentes Clave
- Experimento Aleatorio: Un proceso que produce un resultado incierto. Por ejemplo, lanzar un dado.
- Espacio Muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Para un dado, es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Evento: Un subconjunto de este espacio muestral.
Tipos de Evento
- Evento Simple: Consiste en un único resultado del
experimento. Por ejemplo, obtener un 3 al lanzar un dado.
- Evento Compuesto: Incluye dos o más resultados posibles. Por ejemplo, “obtener un número mayor que 3” en un dado (los resultados son 4, 5, 6).
- Evento Imposible: Un evento que no puede ocurrir.
- Eventos Exhaustivos: Abarcan todos los resultados posibles del experimento.
Ejemplos
- Experimento: Lanzar un dado.
- Espacio Muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Evento A (número par): {2, 4, 6}.
- Evento B (número mayor que 3): {4, 5, 6}.